Prak-8: Deret Fourier

Imam Ibnu Badri Komputasi Teknik 08.38

Kompetensi dasar dan indikator

1 Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti praktikum ini, mahasiswa mampu:

Memahami dan menganalisis Deret Fourier

2 Indikator

1. Mahasiswa mampu memahami dan menganalisis deret Fourier

Mahasiswa berhasil memahami Deret Fourier bentuk Trigonometri.
Mahasiswa berhasil memahami Deret Fourier pada Fungsi Genap-Ganjil dan Fungsi Periode T.
Mahasiswa berhasil memahami konsep Fungsi Periodik dan Harmonisa

Dasar Teori

Deret Fourier
Deret Fourier merupakan penguraian fungsi periodik menjadi jumla han fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis Fourier.

Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier, pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus diketahui bila sumber panas berperilaku dalam cara sederhana, terutama bila sumber panas merupakan gelombang sinus atau kosinus.

Solusi sederhana ini saat ini kadang-kadang disebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear) gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. Superposisi kombinasi linear ini disebut sebagai deret Fourier.

Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar permasalahan fisika dan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di bidang teknik elektroanalisis vibrasi, akustika, optika, pengolahan citra, mekanika kuantum, dan lain-lain.

Jika fungsig (t) periodik dengan periode T_p, yaitu,

dan dalam interval berhingga g(t)memiliki paling banyak jumlah diskontinuitas terbatas dan jumlah maksimum maxima dan minimum (kondisi Dirichlets) , dan sebagai tambahan,

maka g(t) dapat diekspresikan dengan rangkaian sinusoid. Itu adalah,

Dimana

dan koefisien Fourier an dan bn ditentukan oleh persamaan berikut.

Persamaan di atas disebut deret trigonometri Fourier. Bentuk a₀/2 adalah komponen dc dari seri dan merupakan nilai rata-rata g (t) selama suatu periode.

Bentuk

disebut urutan ke-n harmonik. Harmonik pertama diperoleh ketika n = 1 dan yang terakhir ini juga disebut fundamental dengan frekuensi dasar ω₀. Ketika n = 2, kita memiliki harmonik kedua dan seterusnya.

Persamaan berikut adalah persamaan akhir deret Fourier

Dimana

Dan

Kekuatan total dalam g(t) diberikan oleh persamaan Parseval:

Dimana

Langkah Praktikum

Praktikum dimulai dengan:

Tulislah persamaan sinyal f (x) = x³+ 2x dengan interval 0 ≤ x ≤ 4
Mencari nilai a0, an dan bn, dengan camraintegrasi manual.
Hasil a0, an, dan bn akan digunakan untuk perhitungan manual dan dengan menggunakan matlab dengan menggunakan metode pengulangan for sehingga menghasilkan nilai masing-masing f(x), lalu hasilnya diplot.
Hasil Plot matlab ditujukkan oleh Gambar 8.1.

Terlihat pada gambar 8.2, ada perbedaan antara grafik antar fungsi cara Deret Fourier dengan cara plot biasa karena pada titik saat x = 0, untuk deret Fourier ada nilainya karena deret memiliki nilai awal sebesar a0, sedangkan untuk x=0 cara biasa dimasukkan pada fungsi menghasilkan nilai nol.

Latihan

Tentukan deret Fourier dari grafik fungsi periodik berikut.
Buat source code untuk grafik di atas.
Tentukan deret Fourier grafik fungsi periodik berikut.

Buat source code untuk grafik di atas.

Jawab

clc;
x=linspace(-3/2*pi,5/2*pi,1000);
f=2;

for n=1:2:200
%First Plot Square Wave Function
X=[-2*pi,-3/2*pi,-3/2*pi,-pi,-pi/2,-pi/2,0,pi/2,pi/2,i,3/2*pi,3/2*pi,2*pi];
Y=[4,4,0,0,0,4,4,4,0,0,0,4,4];
line(X,Y,'color','r','linewidth',2)
grid on;hold on;
f=f+(8/(n*pi))*sin(n*x);
error=mean((abs(f)-1).^2); %absolute
plot(x-pi/2,f,'k','linewidth',2)
%judul
title(['Square Wave FS Partial Sum: ',...
'n= ',num2str(n),' Error = ',num2str(error)])
pause
%menentukan error 0,1 ditentukan oleh kita
if error<0.01
break
end
clf
end

clc;
x=linspace(-3/2*pi,5/2*pi,1000);
f=2;

for n=1:2:200
%First Plot Square Wave Function
X=[-2*pi,-3/2*pi,-3/2*pi,-pi,-pi/2,-pi/2,0,pi/2,pi/2,i,3/2*pi,3/2*pi,2*pi];
Y=[4,4,0,0,0,4,4,4,0,0,0,4,4];
line(X,Y,'color','r','linewidth',2)
grid on;hold on;
f=f+(8/(n*pi))*sin(n*x);
error=mean((abs(f)-1).^2); %absolute
plot(x-pi/2,f,'k','linewidth',2)
%judul
title(['Square Wave FS Partial Sum: ',...
'n= ',num2str(n),' Error = ',num2str(error)])
pause
%menentukan error 0,1 ditentukan oleh kita
if error<0.01
break
end
clf
end

Latihan di Kampus

Script Matlab

%1000 = kerapatan titik
%0,1.5 adalah rentang sinyal
%membuat sinyal dengan deret cos dan sin

%*******************************************************
%Sum & Plot FS Partial Sums Until Error Level Is Reached
%*******************************************************

clc;clear all;clf;
x=linspace(0,3,1000);
f=0;

% digunakan for karena akan digunakan untuk menghitungn terus-menerus

for n=1:2:200
%First Plot Square Wave Function
X=[0,0,0.5,0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3,3];
Y=[0,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,0];
line(X,Y,'color','r','linewidth',2)
grid on;hold on; %
f=f+(4/(n*pi))*sin(2*pi*n*x);
error=mean((abs(f)-1).^2); %absolute
plot(x,f,'k','linewidth',2)
%judul
title(['Square Wave FS Partial Sum: ',...
'n= ',num2str(n),' Error = ',num2str(error)]) %
pause
%menentukan error 0,1 ditentukan oleh kita
if error<0.01
break
end
clf
end

tekan enter untuk menambah nilai n (sesuai kelipatan)
errornya akan berkurang dengan 4 kondisi

Hasil enter 1