Prak-14: Implementasi Transformasi Z

Imam Ibnu Badri Komputasi Teknik 09.01

Kompetensi dasar dan indikator

1 Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti praktikum ini, mahasiswa mampu:

Memahami dan menganalisis implementasi Transformasi Z

2 Indikator

1. Mahasiswa mampu memahami dan menganalisis implementasi Transformasi Z.

Mahasiswa berhasil menganalisis implementasi Transformasi Z untuk mencari solusi fungsi alih sistem pada refrigerator.
Mahasiswa berhasil membuat source code untuk implementasi Transformasi Z.

Dasar Teori

Pada bab ini akan dibahas implementasi Transformasi Z dan mahasiswa diminta mempelajari dengan seksama uraian lengkap tentang implementasi transformasi laplace yang diangkat dari jurnal yang berjudul " Aplikasi Transformasi Z untuk Solusi Fungsi Alih Sistem Pada Refrigerator ".

Algoritma pemrosesan sinyal digital dapat diklasifikasikan sebagai sistem waktu diskrit. Umumnya diimplementasikan pada komputer atau pemrosesan sinyal digital DSP (Digital Signal Processing). Akibat kelebihannya, filter-filter digital sering menggantikan filter-filter analog klasik.

Dengan bantuan perangkat lunak Matlab kita dapat mensimulasikan hasil rancangan filter digital dari prototip filter analog dan menganalisa hasil dari simulasi tersebut. Dalam mendesain sistem-sistem komunikasi, kendali (kontrol), dan telemetri, kita sering harus memperhitungkan pula filter-filter pembentuk spectrum dari berbagai sinyal.

Dikarenakan luasnya pemakaian berbagai komputer digital dan perangkat keras digital untuk tujuan tertentu, maka penyaringan digital telah menjadi suatu teknik yang sangat penting dalam berbagai penerapan yang mencakup pemrosesan sinyal pembicaraan, radar, seismic dan biomedis[2].

Filter
Pengolahan sinyal merupakan suatu operasi matematika untuk mengolah/memproses sinyal menjadi informasi yang berguna (data). Informasi merupakan hasil pengolahan sinyal yang mempunyai daya guna.

Filter memegang peranan penting dalam pengolahan sinyal. Filter adalah suatu rangkaian elektronik yang berfungsi untuk mengolah frekuensi dari suatu sinyal, frekuensi sinyal tersebut akan diloloskan atau diredam, dalam hal ini disesuaikan dengan kebutuhan.

Berdasarkan sifat ini, filter dibedakan menjadi 4 macam, yaitu low pass filter (LPF), high pass filter (HPF), band pass filter(BPF) dan band reject filter (BRF). Dalam DSP (Digital Signal Processing) filter analog berupa filter Butterworth, filter Chebyshev, dan filter Elliptic sebagai dasar dalam merancang filter digital IIR (Infinite Impulse Response) diperlukan fungsi alih filter analog H(s). Dari fungsi alih filter analog ini akan diturunkan fungsi alih filter digital H(z).

Sistem Waktu Diskrit dalam Persamaan Beda (Difference Equation)
Persamaan beda merupakan bentuk umum dari system diskrit, di mana pada system analog bentuk umum keluaran system dinyatakan dengan persamaan differensial (differential equation). Dengan impuls respons h(n), keluaran system y(n) untuk setiap deret input x(n) dapat dituliskan dengan
konvolusi seperti pada Persamaan 14.1 dan 14.2.

Persamaan beda untuk filter dapat ditulis:

Filter Digital
Filter-filter digital biasanya diklasifikasikan sebagai filter tanggapan impuls yang lamanya terbatas(finite duration impulse response=RIF) atau filter tanggapan impuls yang lamanya tak terbatas (infinite duration impulse response=IIR). Filter-filter FIR dicirikan dengan suatu tanggapan impuls yang panjangnya terbatas atau secara setara dengan suatu fungsi alih dalam bentuk polinom:

Filter-filter IIR di pihak lain dicirikan oleh fungsi alih dalam bentuk suatu bentuk fungsi rasional atau perbandingan polinom:

Digarnbarkan dengan blok diagram Garnbar 14.1.

Gambar 14.1. Blok Diagram Filter IIR

Transformasi Z
Transformasi z dalam bidang digital signal processing (DSP) atau control digital digunakan sebagai alat untuk memodelkan sistem secara diskrit (digital), sedangkan transformasi Laplace digunakan untuk rnemodelkan system analog. Definisi transformasi z untuk suatu sinyal diskrit h(n) dinyatakan oleh Persamaan 14.5.

Output:

Persamaan keluaran

Filter H(z) dapat ditampilkan sebagai berikut

Secara geometris bidang z merupakan suatu lingkaran. Akar-akamya terletak pada lingkaran, sedangkan pada transformasi Laplace, bidang s merupakan bidang datar. Korelasi bidang z dengan bilangan kompleks dapat dilihat pada Persamaan 14.10.

Dimana : r = jari-jari,

di mana untuk r = 1 dikenal unit cycle.

Hubungan transformasi z dengan bidang frekuensi, dapat dinyatakan oleh Persamaan 14.13.

Inverse Transformasi Z
Dari definisi transformasi z pada Persamaan 14.6 (untuk mudahnya akan ditulis kembali). Transformasi z dari x(n) :

Untuk memperoleh balik nilai h(n) dilakukan suatu proses balik yang dikenal dengan invers transformasi z, proses ini didefinisikan sebagai berikut : h(n) = z- l {h(z)}.
Secara umum proses balik untuk h(n) dinyatakan oleh Persamaan 14.14

Proses Merancang Filter
Filter digital mengeliminasi sejumlah masalah yang berhubungan dengan filter analog yang akhimya menggantikan posisi filter analog. Filter digital termasuk kelas sistem waktu diskrit LTI (Linear Time Invariant) yang mempunyai karakteristik kausal dan rekursif dan stabil.

Filter digital dapat dikarakterisasi dalam ranah waktu dengan unit respon impuls dan dalarr: ranah transformasi dengan fungsi transfer. Ada beberapa metode yang dapa1 digunakan untuk merancang filter digital IIR, antara lain matched-2 transformation, impulse step invariant, dan transformation bilinier, karena dari ketiga metode ini metode transformasi bilinier memberikan hasil yang lebih teliti, maka metode ini yang dipakai pada perancangan ini.

Transformasi Bilinear
Metode transformasi Bilinear, ekuivalen dengan trapezoidal integration. Pada dasarnya metode ini adalah proses pemetaan frekuensi dari relasi transformasi Laplace ke transformasi Z. Pemetaan ini mempunyai sifat sebagai berikut [4]:

Jika H(s) dari transfonnasi Laplace adalah sistem LTI kausal dan stabil, maka H(z) akan kausal dan stabil
Karakteristik dari H(s) adalah sebagai sifat awal dari karakteristik H(z) artinya dalam metode ini diperlukan H(s).

Permasalahan utama pada Transformasi Biliniear adalah perubahan dari frekuensi filter analog ke frekeuensi digital bersifat nonlinier, dimana transformasi dari bidang s yang merupakan bidang datar ke bidang z yang merupakan bidang lingkaran. Hubungan transformasi bilinear dengan transformasi z dapat dilihat pada Persamaan 14.15 dan 14.16.

Sehingga :

Transformasi invers-nya adalah: =

, dengan

rad/s sebagai:

symbol frekuensi analog dan

Hubungan antara frekuensi analog dengan frekuensi digital merupakan hubungan yang tidak linier di mana bidang z = ejΩ adalah lingkaran, sedangkan s = j⍵ adalah bidang datar. Untuk itu perlu diadakan koreksi yang dikenal dengan prewarping.

Jika persamaan 16 dibagi dengan j dan fungsi tangensial diterapkan pada bagian sebelah kanan Persamaan 14.16, maka akan diperoleh Persamaan
14.17 dan 14.18.

Fungsi magnitude kwadrat filter butterworth adalah sebagai berikut:

Orde filter low-pass Butterworth analog dapat dihitung besamya orde (N) dari filter dengan menggunakan persamaan berikut:

METODE PENELITIAN
Perancangan Filter
Perancangan filter LPF ini akan melewatkan bandwidth frekuensi dengan respons frekuensi rata, turun sampai dengan - 3 dB dari 0~1500. Hz. Pada frekuensi 2500 Hz sinyal diredam minimum 10 dB. Filter tersebut dirancang bekerja pada frekuensi sampling 10 kHz dengan sinyal masukan berupa:

Frekeunsi sampling yang digunakan dalam perancangan filter LPF digital adalah fs = 10 kHz, maka perioda sampling adalah, Ts = 10-4 detik. Tanggapan magnitudo filter digital yang dirancang seperti yang diperlihatkan pada Gambar 14.2, sebagai berikut ini.

Gambarl 4.2. Tanggapan Magnitudo Fllter Digital yang Dirancang
Menggunakan Persamaan 14.16 maka didapat
⍵l= 0,3𝜋rad pada Kl ≥ 3dB dan
⍵2= 0,5𝜋rad pada K2 ≥ 10dB
Menggunakan Persamaan 14.18 maka didapat :

Transformasi temormalisasi kemudian dilakukan, maka Gambar 14.2 dapat dinyatakan sebagai Gambar 14.3 sebagai berikut:

Gambar 14.2. Tanggapan Magnitudo Filter Temormalisasi

Berikutnya menghitung Ω sebagai berikut:

Menggunakan Persamaan 14.21 digunakan untuk smenghitung orde LPF Butterworth sehingga diperoleh orde N sebagai berikut:

Hasil perhitungan, N lebih mendekati ke angka dua maka dilakukan pembulatan ke atas, maka diperoleh nilai N = 2 dan dari tabel polinomial Butterworth diperoleh :

oleh Karena itu untuk LPF Butterworth orde 2 temormalisasi berlaku:

Variabel s/ Ω menggantikan variable s maka maka LPF Butterworth analog hasil disain diperoleh:

Transfer function H(z) menggunakan dari Filter Low-Pass digital yang direncanakan diperoleh dengan menggantl variable S dengan

, maka diperoleh:

Menggunakan Persamaan 14.10 transfer function H(z) dari Low-Pass Filter digital yang direncanakan dapat dibuat sebagai berikut:

Menggunakan Persamaan 14.2 persamaan beda Low- Pass Filter digital yang direncanakan dapat dibuat menjadi sebagai berikut :

Nilai koefisien dari persamaan ini, akan menjadi parameter input dalam program simulasi yang akan dilakukan.

Implementasi dalam Pemrograman Matlab
Simulasi ini menampilan sinyal masukan dan sinyal keluaran setelah penerapan filter LPF dalam domain waktu. Program dibuat ada tiga bagian proses yaitu proses sinyal masukan proses pemfilteran dengan LPF, kemudian hasil proses pemfilteran berupa sinyalkeluaran. Program untuk memproses dan menampilkan sinyal masukan adalah sebagai berikut:
Program pemrosesan sinyal masukan :
x l= sin (2𝜋 50 t), dengan f1=50 Hz
x2= sin (2𝜋 100 t), dengan f2= 100 Hz
x3= sin (2𝜋 2500 t), dengan f3=2500 Hz
x3 anggap sebagai noise dan dapat diubah-ubah nilainya dalam simulasi ini x(t) = sin (2𝜋 50 t) + sin (2𝜋 100 t) + x3 adalah sebagai berikut:

% Sinyal masukan
Fs=10000; % Sampling Sinyal masukan
t=(1:300)/Fs;
x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*2500*t);
subplot(2,1,1);
plot(t,x,'k');
title('Sinyal Masukan')
xlabel('Waktu, t(detik)')
ylabel('Level Sinyal, x(t)')
axis([0 0.02 -2 2])
grid on

Program untuk memproses pemfilteran menggunakan LPF persamaan beda dengan memasukan koefisien filter y(n) = 0,1311 x(n) + 0,2622 x(n- 1) + 0,1311 x(n-2) +0,7478 y(n-1) - 0,2722 y(n-2) sebagai berikut:

for n= 1:200;
if n== 1 ;
    y(n)= 0.1311*x(n);
     elseif n==2;
    y(n)=0.1311*x(n) + 0.2622*x(n-1)+ 0.7478*y(n-1);
     elseif n>=3;
        y(n)= 0.1311 *x(n)+ 0.2622 *x(n-1)+ 0.1311*x(n-2)+ 0.7478 *y(n-1)- 0.2722 *y(n-2);
  end
end

Program untuk memproses dan menampilkan sinyal keluaran adalah sebagai berikut:

subplot(2,1,2);
plot(t(1:200),y(1:200),'k');
title('Sinyal Keluaran')
xlabel('Waktu, t(detik)')
ylabel('Level Sinyal, y(t)')
axis([0 0.02 -1.5 1.5])
grid on

HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil dari eksekusi program matlab diatas sebagai berikut:

Gambar 14.3. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=2000 Hz

Dengan cara yang sama dengan dengan memasukkan sinyal noise f3= 2500, 3000, 3500, 4000, dan 4500 Hz, diperoleh grafik sebagai berikut:

Gambar 14.5. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=2500 Hz

Gambar 14.6. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=3000 Hz

Gambar 14.7. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=3500 Hz

Gambar 14.8. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=4000 Hz

Gambar 14. 9 Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise D=4500 Hz

Simulasi sinyal x(t) = sin (2𝜋 50 t) + sin (2𝜋 100 t) + x3 dengan asumsi sin (2𝜋 50 t) + sin (2𝜋 100 t) sebagai sinyal masukan tanpa noise dan x3 diasumsikan sebagai noise dalam simulasi ini nilaidiubah-ubah. Gambar 4 dan 5 memperlihatkan masih sangat ber-noise dengan jelas terlihatnya ripple pada sinyal keluaran. Gambar 6, 7 dan 8 memperlihatkan noise berkurang dengan menyusutnya ripple pada sinyal keluaran. Gambar 9 memperlihatkan sinyal keluaran tidak mengandung ripple sehingga sinyal keluaran ini terbebas dari noise dari hasil penerapan filter LPF yang dirancang. Dengan demikian filter ini dapat menghilangkan noise terbaik frekeunsi 4500 Hz keatas. Sedangkan gambar 4, 5, 6, 7 dan 8 masih adanya pengaruh noise walaupun berkurang dengan menaiknya frekuensi noise yang diberikan tetapi filter LPF yang dirancang dapat menjalankan fungsi untuk mengeliminasi noise dengan berkurangnya ripple yang terjadi dengan makin naiknya frekuensi noise yang diberikan.

KESIMPULAN

Filter LPF digital yang dirancang dapat menyanng frekuensi yang diinginkan dan mengeliminasi noise yang tidak diinginkan dengan indikasi pengurangan ripple dengan penaikan frekuensi noise yang diberikan.
Frekuensi noise yang yang dapat dielerninasi dengan baik 4500 Hz ke atas
Frekuensi dibawah 4500 sarnpai dengan 2000 Hz noise rneningkat dengan indikasi bertarnbahnya ripple

Latihan

1. Buatlah source code irnplernentasi Transformasi Laplace tertentu yang anda tentukan sendiri!

Jawab

1) Penggunaan Transformasi Laplace untuk Memecahkan Masalah Sirkuit listrik. Pertama-tama kita menurunkan persamaan rangkaian dasar dan transformasi Laplace-nya dan kebalikan dari transformasi ditentukan dari MAT-LAB. Persamaan domain waktu kemudian diplot dalam MATLAB, adapun gambarnya sebagai berikut.

Sistem linear dengan saluran transmisi lossy

Persamaan sirkuit untuk loop pertama dari sirkuit diberikan di bawah ini:

Mirip, untuk loop kedua,

Menerapkan transformasi laplace di kedua persamaan dan menulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: Kita nanti akan menulis kode matlab untuk solusi dari persamaan ini dan plot thevariation dari arus dalam loop yang berbeda

mari kita pertimbangkan

dan

X dapat dengan mudah dihitung dengan menggunakan

2) Sekarang, kita akan melakukan beberapa kode di matlab untuk mendapatkan solusi untuk loop diatas.
a. Buka Matlab
b. Masukan cript berikut

clear all
%pengaturan variabel laplace sebagai s
syms s;
%input dalam bentuk matriks
A=[(s+10000) -5000; -10*s (20*s + 20000)];
B=[50000/s; 0];

%Menghitung kebalikan dari A
X=inv(A);

%Penentuan I_1(t) and I_2 dalam s
X_s=X*B;

%Mengambil inverse Laplace transform dari nilai inverse yang diperoleh
X_t=ilaplace(X_s);

% untuk mendapatkan respons domain waktu individu dari arus, jalankan kode
% hingga ini dan periksa X_t di baris perintah dan salin tempel hasilnya dalam dua
% Fungsi terpisah seperti yang ditunjukkan di bawah ini, X_t 1 dan X_t 2
t=[0: 0.00001: 0.004];

% untuk merencanakan pengaturan sumbu waktu
X_t1 = 5 - 5*exp (-4250.*t).*(cosh(250*129^(1/2).*t)-(23*129^(1/2)* sinh(250*129^(1/2).*t))/129);
X_t2 = (100*129^(1/2).*exp(-4250.*t).*sinh(250*129^(1/2).*t))/129;

subplot(1,2,1)
% ini memberikan plot I_1 (t)
% plot arus di loop pertama
% perhatikan bahwa untuk arus pada kondisi tunak mendekati tegangan diterapkan
% dibagi dengan tahanan

plot(t, X_t1)
xlabel('Time'), ylabel('I_1(t)')
grid on
subplot (1,2,2)

% Ini memberikan plot loop kedua dan pada arus yang stabil menuju

% zero
plot (t , X_t2)
xlabel ('Time' ), ylabel ( 'I_2 ( t )')
grid on

c. Klik Run pada editor, kemudian hasil akan tampil di figure 1

Daftar Pustaka

Fadlun, Wira. 2018. Modul Praktikum Komputasi Teknik.
https://www.academia.edu/37080216/Use_of_Laplace_Transform_with_MATLAB_Program_to_Solve_the_Circuit_Problems_With_Simulink_Verification

NB :
Download laporan di Halaman Daftar Isi

Daftar Isi - Teknik Komputasi

TeachMeSoft